Cari Artikel di Sini

Senin, 22 Juli 2013

MATERI MATEMATIKA KELAS 9 SMP/MTSn Bab 5 : Pangkat Tak Sebenarnya

Untuk materi ini mempunyai 3 Kompetensi Dasar yaitu:

Kompetensi Dasar : 

  1. Mengidentifikasi sifat-sifat bilangan berpangkat dan bentuk akar 
  2. Melakukan operasi aljabar yang melibatkan bilangan berpangkat bulat dan bentuk akar
  3. Memecahkan masalah sederhanayang berkaitan dengan bilangan berpangkat dan bentuk akar


Daftar isi


Bilangan Bulat dengan Eksponen Bilangan Bulat Positif

Masih ingat bentuk berikut :
32 = 3 x 3
23 = 2 x 2 x 2
56 = 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 
Demikian seterusnya sehingga diperoleh bentuk umum sebagai berikut. 
Gambar:36.jpg 
Dengan a bilangan bulat dan n bilangan bulat positif Dari pengertian di atas akan diperoleh sifat-sifat berikut.

Sifat 1
an x an = am + n 
24 x 23 = (2 x 2 x 2 x 2 )x(2 x 2 x 2 )
           = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2
           = 27
           = 24+3 
Sifat 2
am : an = am - n, m > n
55 : 53 = (5 x 5 x 5 x 5 x 5) : (5 x 5 x 5)
           = 5 x 5
           = 52
           = 55 - 3 
Sifat 3
(am)n = am x n
(34)2 = 34 x 34
       = (3 x 3 x 3 x 3) x (3 x 3 x 3 x 3)
       = (3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3)
       = 38
       = 34 x 2

Sifat 4
(a x b)m = am x bm
(4 x 2)3 = (4 x 2) x (4 x 2) x (4 x 2)
           = (4 x 4 x 4) x (2 x 2 x 2)
           = 43 x 23 
Sifat 5
(a : b)m = am : bm
(6 : 3) 4 = (6 : 3) x (6 : 3) x (6 : 3) x (6 : 3)
            = (6 x 6 x 6 x 6) : (3 x 3 x 3 x 3)
            = 64 : 34


Bilangan Bulat dengan Eksponen Bilangan Bulat Negatif

Gambar:37.jpg 
Dari pola bilangan itu dapat disimpulkan bahwa 20 = 1 dan 2-n 1/2n , secara umum dapat ditulis :

Gambar:38.jpg 
Pecahan Berpangkat Bilangan Bulat
Kita telah mengetahui bahwa pecahan adalah bilangan dalam bentuk dengun a dan b bilangan bulat (b ≠ 0). Bagaimanakah jika pecahan dipangkatkan dengan bilangan bulat? Untuk menentukan hasil pecahan yang dipangkatkan dengan bilangan bulat, caranya sama dengan menentukan hasil bilangan bulat yang dipangkatkan dengan bilangan bulat. 
Contoh:
Tentukan hasil berikut ini! 
 (1/2)5
Jawab :
Gambar:39.jpg 

Bentuk Akar dan Bilangan Berpangkat Pecahan


Bilangan Rasional dan Irasional

Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk a/b dengan a, b bilangan bulat dan b ≠ 0. Bilangan rasional merupakan gabungan dari bilangan bulat, nol, dan pecahan. Contoh bilangan rasional adalah -5, -1/2, 0, 3, 3/4, dan 5/9.

Sebaliknya, bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuka/b dengan a, b bilangan bulat dan b ≠ 0.
Contoh bilangan irasional adalah . Bilangan-bilangan tersebut, jika dihitung dengan kalkulator merupakan desimal yang tak berhenti atau bukan desimal yang berulang. Misalnya 

√2 = 1,414213562 .... Selanjutnya, gabungan anrara bilangan rasional dan irasional disebut bilangan real.


Bentuk Akar

Berdasarkan pembahasan sebelumnya, contoh bilangan irasional adalah √2 dan √5 . Bentuk seperti itu disebut bentuk akar. Dapatkah kalian menyebutkan contoh yang lain? 
Bentuk akar adalah akar dari suatu bilangan yang hasilnya bukan bilangan Rasional. 
Bentuk akar dapat disederhanakan menjadi perkalian dua buah akar pangkat bilangan dengan salah satu akar memenuhi definisi
√a2 = a jika a ≥ 0, dan –a jika a < 0 
Contoh :
Sederhanakan bentuk akar berikut √75
Jawab :
√75 = √25x3 = √25 x √3 = 5√3


Mengubah Bentuk Akar Menjadi Bilangan Berpangkat Pecahan dan Sebaliknya

Bentuk √a dengan a bilangan bulat tidak negatif disebut bentuk akar kuadrat dengan syarat tidak ada bilangan yang hasil kuadratnya sama dengan a. oleh karena itu √2,√3, √5, √10, √15 dan √19 merupakan bentuk akar kuadrat. Untuk selanjutnya, bentuk akar n√amdapat ditulis am/n (dibaca: a pangkat m per n). Bentuk am/n disebut bentuk pangkat pecahan.

contoh :
Gambar:40.jpg 

jawab :

Gambar:41.jpg 

Operasi Aljabar pada Bentuk Akar


Penjumlahan dan Pengurangan

Penjumlahan dan pengurangan pada bentuk akar dapat dilakukan jika memiliki suku-suku yang sejenis.

Gambar:42.jpg 
kesimpulan :
jika a, c = Rasional dan b ≥ 0, maka berlaku 

a√b + c√b = (a + c)√b

a√b - c√b = (a - c)√b


Perkalian dan Pembagian

Contoh :
Tentukan hasil operasi berikut :

Gambar:43.jpg 
jawab : 
Gambar:44.jpg 

Perpangkatan

Kalian tentu masih ingat bahwa (a^)" = a^'. Rumus tersebut juga berlaku pada operasi perpangkatan dari akar suatu bilangan.
Contoh:
Gambar:45.jpg 

Operasi Campuran

Dengan memanfaatkan sifat-sifat pada bilangan berpangkat, kalian akan lebih mudah menyelesaikan soal-soal operasi campuran pada bentuk akarnya. Sebelum melakukan operasi campuran, pahami urutan operasi hitung berikut.

  • Prioritas yang didahulukan pada operasi bilangan adalah bilangan-bilangan yang ada dalam tanda kurung.
  • Jika tidak ada tanda kurungnya maka
  1. pangkat dan akar sama kuat;
  2. kali dan bagi sama kuat;
  3. tambah dan kurang sama kuat, artinya mana yang lebih awal dikerjakan terlebih dahulu;
  4. kali dan bagi lebih kuat daripada tambah dan kurang, artinya kali dan bagi dikerjakan terlebih dahulu.
Contoh :

Gambar:46.jpg 

Merasionalkan Penyebut

Dalam perhitungan matematika, sering kita temukan pecahan dengan penyebut bentuk akar, misalnya Gambar:47.jpg 
Agar nilai pecahan tersebut lebih sederhana maka penyebutnya harus dirasionalkan terlebih dahulu. Artinya tidak ada bentuk akar pada penyebut suatu pecahan. Penyebut dari pecahan-pecahan yang akan dirasionalkan berturut-turut adalah Gambar:48.jpg 
Merasionalkan penyebut adalah mengubah pecahan dengan penyebut bilangan irasional menjadi pecahan dengan penyebut bilangan rasional.


Penyebut Berbentuk √b

Jika a dan b adalah bilangan rasional, serta √b adalah bentuk akar maka pecahan a/√bdapat dirasionalkan penyebutnya dengan cara mengalikan pecahan tersebut dengan√b/√b .
Gambar:49.jpg 

Contoh :
Sederhanakan pecahan berikut dengan merasionalkan penyebutnya!

Gambar:50.jpg 
jawab :

Gambar:51.jpg 

Penyebut Berbentuk (a+√b) atau (a+√b)

Jika pecahan-pecahan mempunyai penyebut berbentuk (a+√b) atau (a+√b) maka pecahan tersebut dapat dirasionalkan dengan cara mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan sekawannya. Sekawan dari (a+√b) adalah (a+√b) adalah dan sebaliknya.
Bukti
Gambar:52.jpg 
Contoh : 
Rasionalkan penyebut pecahan berikut. 
Gambar:53.jpg 
jawab : 
Gambar:54.jpg 


Penyebut Berbentuk (√b+√d) atau (√b+√d)

Pecahan tersebut dapat dirasionalkan dengan mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan bentuk akar sekawannya, yaitu sebagai berikut.
Gambar:55.jpg 
Contoh: 
Selesaikan soal berikut! 
Gambar:56.jpg 
Jawab : 
gambar:57.jpg

29 komentar:

  1. Tulisan yg bagus....bs membantu dlm kegiatan PBM

    BalasHapus
  2. Soal yang ditampilkan variatif

    BalasHapus
  3. makasih bgt ini sangat membantu saya.......

    BalasHapus
  4. Makasih... Terus update klo bisa

    BalasHapus
  5. Kalo perpecahan yg pangkatnya negatif/min misalnya (½)-¹ cara pengerjaannya bagaimana?

    BalasHapus
  6. 2^x . 8^1/5 = 2^1/5, maka x sama dengan...

    BalasHapus
  7. (Thank's)

    Tapi, Saya mau nanya ngerti gak kamu?

    BalasHapus
  8. Sangat membantu dalam ujian besok

    BalasHapus
  9. Makasih bgt bro info nya, sangat bermanfaat buat saya. hehe
    Jangan Lupa mampir ke blog EXPO Lowongan Kerja Terbaru ane ya Lowongan Kerja Bank Tabungan Negara (BTN)

    BalasHapus
  10. makasih banyak ya kak, ini ngebantu banget hehe

    BalasHapus
  11. makasih banget yaa wkwkwk (y)

    BalasHapus
  12. Makasih kak, ngebantu banget ini

    BalasHapus
  13. belajar pangkat dan akar gampang gampang susah. selama kita tahu konsep dasarnya pasti bisa. hehehe...

    BalasHapus
  14. materi materi sangat membantu. tapi link nya ko ga bisa dibuka ?

    BalasHapus
  15. bisa minta tolong bagaimna jawaban matematika soal p3r3:p2r ?

    BalasHapus
  16. sangat bermanfaat untuk referensi materi ajarku. makasih min.

    BalasHapus